Ein Würfel an einer schrägen Stufe

Ein Würfel an einer schrägen Stufe – sein Hin- und Rückweg

Eine untere Ebene und eine obere Ebene sind durch eine Schräge verbunden, die einen Neigungs­winkel α zur Horizontalen hat. Ein Würfel mit einer Kantenlänge a, die kürzer als die Schräge ist, wird so an diese gestellt, dass seine unterste Kante gerade an der Knicklinie zwischen unterer Ebene und Schräge anliegt und der Würfel mit seiner vollen Grundfläche auf der Schräge steht. Dazu muss &#945 kleiner sein als 45°, sonst würde der Würfel zurückkippen. Die Höhe des Schwer­punktes des Würfels über der unteren Ebene ist dann a geteilt durch Wurzel 2 und multipliziert mit einem Faktor, der der Cosinus des Winkels 45° – &#945 ist.

Nun wird der Würfel an der Schräge nach oben geschoben, ohne dass ein Drehmoment ausgeübt wird. Seine vorderste Kante ragt bereits über die obere Ebene hinaus, aber erst, wenn der Schwerpunkt über die Knicklinie zwischen Schräge und oberer Ebene geht, würde der Würfel kippen. Wenn sich der Schwerpunkt genau über dieser Knicklinie befindet, hat er eine Höhe über der oberen Ebene von a/2 geteilt durch den Cosinus des Winkels &#945.

Ist der Würfel erst einmal auf die obere Ebene gekippt, ist die Höhe seines Schwerpunktes über der oberen Ebene natürlich nur noch a/2.

Wird der Würfel nun wieder zurückgeschoben, wieder ohne ein Drehmoment auszuüben, dann beschreibt er einen anderen Rückweg. Er bleibt zunächst mit seiner Grundfläche auf der oberen Ebene, bis der Schwerpunkt diesmal über die Knicklinie zwischen oberer Ebene und Schräge geht. Erst dann kippt er und würde sich bei ausreichender Reibung in einer Lage befinden, bei der genau die halbe Grundfläche auf der Schräge liegt und der Schwerpunkt eine Höhe über der oberen Ebene hätte, die nunmehr a/2 multipliziert mit dem Cosinus des Winkels &#945 ist, also in jedem Fall niedriger.

Bei den entsprechenden Bedingungen könnte der Würfel jetzt in seine Ausgangslage zurückkehren.

Können Sie sich die Sachverhalte anhand einer Skizze klarmachen?

Preisaufgabe: Jemand behauptet, er könne auf dieser Basis ein Sperrgetriebe bauen, wo es außer dem Würfel kein bewegliches Teil gibt, eine Vorrichtung also, bei dem man den Würfel von oben zwar herunterschieben kann, aber nicht auf die obere Ebene hinauf. Berechnen Sie dazu die Höhen, die die Oberkante des Würfels in verschiedenen Lagen hat und leiten Sie eine Formel für deren jeweiliges Maximum her. Bei welchem Winkel &#945 ist deren Differenz am größten?

C.R. 18.11.2010